Vai cilvēkam vispār ir iespējams saprast, kas ir bezgalība? 57
Vilma Veldre, “Planētas Noslēpumi”, AS “Latvijas Mediji”
Lielākajai daļai cilvēku šķiet neiespējami saprotamā izpausmē iedomāties to, kas ir bezgalība. Tostarp matemātiķi apgalvo, ka zinātne tomēr ir dāvājusi cilvēkam tādu iespēju. Piemēram, krievu matemātiķis Aleksejs Savatejevs jau pašu matemātiku nodēvējis par “soli pāri bezgalībai”. Proti, matemātikas apgūšana nozīmē to, ka cilvēks ar bezgalību savās attiecībās pāriet uz “tu”. Un – jo lielākā mērā viņš ar bezgalību ir uz “tu”, jo labāk izprot matemātiku…
I
Lai pavērtos iespēja labāk saprast to, kā zinātnes ļaudis vispār iedomājas matemātisko bezgalību, matemātiķi ieteic vispirms aplūkot naturālo skaitļu 1, 2, 3, 4 un tā tālāk secību, ko potenciāli var bezgalīgi turpināt. Tādi nepārtraukti procesi parasti kalpo kā pirmie piemēri tik sarežģītam jēdzienam, kāds neapšaubāmi ir bezgalība. Tostarp matemātikā tie procesi, kuriem nav galējās robežas vai galējā punkta, sastopami pat pietiekami bieži, savukārt pats jautājums par bezgalību kā tādu sakņojas jau Senās Grieķijas matemātikā.
Mūsdienu vēstures pētnieki uzskata, ka visagrīnākie pētījumi saistībā tieši ar matemātisko bezgalību varētu būt grieķu filozofa Zenona paradoksi. Viens no šiem paradoksiem, kas noformulēts V gadsimtā pirms mūsu ēras, saistīts ar Ahilleju, proti, “visātrkājaināko no visiem zināmajiem senajiem grieķiem”, kuram vajadzēja sacensties skriešanā ar bruņurupuci.
Atbilstoši šim paradoksam veidojas aina, ka ātrkājainais Ahillejs nekad nespēs noķert bruņurupuci tajā gadījumā, ja kustības sākumā bruņurupucis atrodas Ahillejam priekšā.
Arī leģendārais Aristotelis nodarbojās ar pētījumiem gan saistībā ar šo, gan citiem noslēpumiem, kas skar bezgalīgu dalāmību. Viņš uzskatīja, ka Visums tomēr nevar būt bezgalīgi liels. Jo, ja tas tā būtu, tad puse no tā arī būtu bezgalīga.
Līdz ar to rodas jautājums: un kas visu Visumu tādā gadījumā padara lielāku par tā pusi? Acīmredzamā atbilde ir – nekas, jo tie abi ir bezgalīgi, kas nozīmē tikai to, ka abiem arī jābūt vienādā izmērā. Taču tie nekādi nevar būt vienāda izmēra, jo viens ir tikai puse no tā otra, un tas otrs tātad ir lielāks…
Tostarp Aristotelis izvirzīja vēl arī virkni citu iebildumu, secinot, ka Visumam tomēr jābūt galīgam. Un, raugoties zvaigznēs virs savas galvas, viņš izdomāja, ka kosmosu veido gigantiski liela (taču katrā ziņā galīga) sfēra ar Zemi tās centrā. Taču tiklīdz Aristotelis bija nācis klajā ar šādu pieņēmumu, acumirklī kāds viņam jautāja: un kas atrodas aiz šīs sfēras?
Bet, arī neskatoties uz to, ka atbilde nesekoja ne tad, ne arī ir noformējusies mūsdienās, jau tūkstošiem gadu cilvēkiem tā tomēr ļoti simpatizē, un to, kā uzskata mūsdienu pētnieki, var lielā mērā uzskatīt par labu parādību. III gadsimtā pirms mūsu ēras Arhimēds aprēķināja, cik daudz vajadzēs smilšu graudiņu, lai pilnībā piepildītu Aristoteļa visumu, savukārt viduslaikos Akvīnas Toms nāca klajā ar striktu Aristoteļa atbalstu, un šis viedoklis tad arī kļuva par pamatu kristiešu baznīcas skarbajam dogmatismam.
Taču viss būtiski mainījās pēc tam, kad poļu zinātnieks Nikolajs Koperniks nāca klajā ar paziņojumu, ka Zeme nekādā gadījumā nav Visuma centrs.
Savukārt mazliet vēlāk itāļu gaišais prāts Galileo Galilejs iemantoja neremdināmu asins un varas kārās katoļu baznīcas ienaidu un absolūti bīstama domātāja statusu, jo tomēr atkal atļāvās pilnībā atklāti spriest par bezgalību. Proti, viņš uzskatīja: pasaule ir bezgalīga, matērija ir mūžīga. Bet 20. gadsimta 20. gados vācu matemātiķis Deivids Gilberts izgudroja slaveno domas eksperimentu, lai varētu pierādīt to, cik tomēr ārkārtīgi sarežģīti ir cilvēka prātam apjēgt bezgalības koncepciju.
II
Nākamā prāta spēle izpaužas šādi. Iedomāsimies sevi kā portjē viesnīcā ar simbolisku nosaukumu “Bezgalība”. Visas bezgalīgā daudzumā esošās istabiņas ir aizņemtas, taču ieradies kāds jauns viesis. Ko tagad darīt: vai raidīt viņu prom kā tādu miljonāru Ostapu Benderu, kurš, kā zināms, arī nekādi nespēja iekārtoties viesnīcā, lai tur bezbēdīgi šķērdētu grāmatvedim Koreiko atņemto miljonu, jo visās padomju viesnīcās visas istabiņas jau sen priekšlaikus bija aizņemtas uz nenosakāmi ilgu laiku?
Nē, jo, izrādās, jāveic tikai ļoti elementāra darbība: viesis no 1. istabas jāpārvieto uz 2. istabu, tad viesis no 2. istabas uz 3. istabu un tā tālāk. Un viss – pirmā istaba tagad ir brīva jebkuram “Ostapam Benderam”.
Tomēr filozofiskais jautājums ir šāds: ko darīt tajā gadījumā, ja tamlīdzīgā veidā uzradīsies bezgalīgs daudzums jaunu viesu?
Izrādās, nosacītais portjē joprojām var būt bezgala laipns. Raugi, iemītnieks no 1. istabas atkal pāriet uz 2. istabu, bet iemītnieks no 2. istabas atkal pāriet uz 3. istabu un atkal tā tālāk… līdz bezgalībai. Tā kā istabu skaits tādējādi ir divkāršojies, kļūstot par pāra skaitļiem, portjē tagad viesnīcā var izvietot bezgalīgu daudzumu jaunu viesu brīvajos nepāra numuros. Pāra skaitļiem jābūt tikpat daudz, cik ir skaitļu, jo pastāv bezgalīgs daudzums istabu pilnībā neatkarīgi no tā, vai ir pāra vai nepāra. Rezultātā portjē ir iespēja izvietot bez atlikuma visus skaitļus tikai pāra skaitļu “aizņemtajās” istabās.
Var piebilst, ka šis domas eksperiments pazīstams kā “bezgalīgās viesnīcas paradokss”, un pētnieki uzskata, ka tas vairāk nekā lieliski ilustrē bezgalīgo daudzumu īpašības.
Daudzumu teorijas radītājs matemātiķis Georgs Kantors paudis uzskatu, ka pastāv bezgalīgs skaitļu daudzums, kas attiecīgi apraksta daudzus skaitļu tipus. Piemēram, paradoksā skaitļu daudzums būtu tāds pats, kāds ir pāra un vispār jebkādu parasto skaitļu daudzums. Mūsdienās tas šķiet pat ļoti acīmredzami, taču tas nebija tik acīmredzami Aristotelim un viņa sekotājiem, kuri aktuālo bezgalību uzskatīja par nepieļaujamu kā zinātnisku jēdzienu.
Daudzumu teorija ir matemātikas sadaļa, kas pētī daudzumu vispārējās īpašības, proti, runa ir par nejaušas iedabas elementu kopumiem, kam piemīt kāda kopīga īpašība.
Tāpat Kantors arī pierādīja, ka dalījumu daudzums ir vienāds ar šo bezgalīgo daudzumu, ko nodēvējis par alef–nulli. Iespējams, par visbrīnišķīgāko (vismaz matemātiķu ieskatā) var uzskatīt to, ka viņš ar tā dēvētā diagonālā argumenta palīdzību pierādīja, ka pastāv vairāk par vienu bezgalīgu skaitli.
Kopumā gan Kantora veikums sastapās ar ļoti ievērojamu pretestību, taču beigās viņš tomēr pārliecinoši uzvarēja, un mūsdienās viņa teoriju var uzskatīt par vispārpieņemtu. Ir tikai pavisam neliels daudzums matemātiķu, kurus dēvē par intuicionistiem jeb konstruktīvistiem, kuri pauž neticību par to, ka cilvēki patiešām ir spējīgi saprast bezgalīgās totalitātes ideju. Turklāt var piebilst, ka 20. gadsimtā šim mazākumam pievienojās arī filozofi, izvirzot sev raksturīgo mazliet citas ievirzes jautājumu, proti: vai vispār ir iespējams saprast Kantora piedāvāto skatījumu uz bezgalību?
